Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость
Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши . Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.
Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.
Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:
А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.
Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях , эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».
В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:
Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака . Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решения функциональных рядов .
Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.
Признак Лейбница : Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.
Или в два пункта:
1) Ряд является знакочередующимся.
2) Члены ряда убывают по модулю: , причём, убывают монотонно.
Если выполнены эти условия, то ряд сходится .
Краткая справка о модуле приведена в методичке Горячие формулы школьного курса математики , но для удобства ещё раз:
Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду 
. Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа
. Мы увидим, что каждый следующий
член ряда меньше
, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:
– Члены ряда без учёта знака
убывают.
– Члены ряда убывают по модулю
.
– Члены ряда убывают по
абсолютной величине
.
– Модуль
общего члена ряда стремится к нулю:
// Конец справки
Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.
Члены ряда строго монотонно
убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю
МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:
А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю
меньше, чем предыдущий: .
Члены ряда нестрого монотонно
убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: 
Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю
не больше предыдущего: .
В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). Кроме того, члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю , но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.
Не нужно пугаться того, что я нагородил, практические примеры всё расставят по своим местам:
Пример 1
В общий член ряда входит множитель , и это наталкивает на естественную мысль проверить выполнение условий признака Лейбница:
1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно 
и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».
2) Убывают ли члены ряда по модулю? Здесь нужно решить предел , который чаще всего является очень простым.
– члены ряда не убывают по модулю, и из этого автоматически следует его расходимость – по той причине, что предела 
не существует *, то есть, не выполнен необходимый признак сходимости ряда .
Пример 9
Исследовать ряд на сходимость
Пример 10
Исследовать ряд на сходимость 
После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам , которые не менее монотонны и однообразны интересны.
Знакопеременными называются ряды, члены которых могут иметь любые знаки, например, .
В частности, если положительные и отрицательные члены ряда следуют друг за другом поочередно, то такой знакопеременный ряд называется знакочередующимся.
Знакочередующие ряды
Знакочередующий ряд, члены которого являются положительными, можно представить в виде
Для исследования сходимости знакочередующихся рядов применяют признак Лейбница.
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т. е. если выполняются следующие два условия:
1)
и 2)
.
Достаточно важный класс сходящихся рядов образуют так называемые абсолютно сходящиеся ряды. При этом членами таких рядов могут быть любые действительные числа.
Определение
9.5.
Ряд
называется абсолютно сходящимся, если
сходится
.
Теорема
9.4.
Если ряд
сходится, то и ряд
тоже
сходится.
Данная теорема утверждает, что если ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится.
Необходимо отметить, что:
1) для знакопостоянных рядов понятие сходимости и абсолютной сходимости совпадают;
2)
ряд называется условно сходящимся, если
он сходится, а ряд
расходится.
Рассмотрим признаки Даламбера и Коши для произвольных знакопеременных рядов.
Признак
Даламбера.
Если существует
,
то при
ряд
абсолютно
сходится, при
ряд будет расходящимся, при
признак
не решает вопроса о сходимости ряда.
Задача 9.7. Исследовать сходимость ряда
Здесь за каждыми двумя положительными членами ряда следует два отрицательных. Для исследования сходимости такого ряда воспользуемся признаком Даламбера.
.
Исходный ряд сходится по признаку Даламбера.
Задача 9.8. Исследовать ряд на абсолютную сходимость
Здесь
.
Для такого ряда выполняются следующие
условия:
а)
б)
.
Следовательно, исходный ряд сходится
в соответствии с признаком Лейбница.
Исследуем
заданный ряд на абсолютную сходимость.
Для этого составим ряд
из абсолютных величин:
Такой ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, которая всегда сходится. Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно.
Задача 9.9 . Исследовать сходимость ряда
Здесь
,
следовательно ряд расходящийся, так
как не выполняется необходимое условие
сходимости.
Тема 9.2. Функциональные ряды
Пусть
задана следующая последовательность
функций
,
т. е.
которая определена на некотором множестве. Если члены такой последовательности соединить знаком плюс, то получают выражение
или
.
Такие выражения называют функциональными
рядами, а функция
называется общим членом ряда.
Частными
суммами ряда
называются функции вида
Функциональный
ряд
называется сходящимся при
или в точке (
),
если в этой точке сходится последовательность
его частных сумм:
Другими
словами, можно отметить, что функциональный
ряд
сходится при
,
если сходится числовой ряд
.
Предел
последовательности
,
обозначим его через
,
называется суммой ряда
в точке
.
Определение
9.6.
Совокупность всех значений
,
для которых сходится ряд
,
называется областью сходимости этого
ряда.
Пусть
на отрезке тогда
на рассматриваемом отрезке. В этом
случае отмечают, что функция
разлагается в ряд на отрезке
.
Как
было показано, сходимость функционального
ряда на отрезке
означает, что для любого значения
отрезка
соответствующий числовой ряд сходится.
В этой связи для исследования на
сходимость функциональных рядов можно
использовать признаки сходимости
числовых рядов.
Задача 9.10. Найти область сходимости ряда
Компактно этот ряд можно представить следующим образом
.
Этот
ряд сходится для всех
.
Действительно, для каждого
сумма ряда равна
(сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии). Таким образом, в интервале
исходный ряд определяет функцию
Определение 1
Числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $, члены которого имеют произвольные знаки (+), (?), называется знакопеременным рядом.
Рассмотренные выше знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременного ряда; понятно, что не всякий знакопеременный ряд является знакочередующимся. Например, ряд $1-\frac{1}{2} -\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5} -\frac{1}{6} -\frac{1}{7} +\ldots - $ знакопеременный, но не являющийся знакочередующимся рядом.
Отметим, что в знакопеременном ряде членов как со знаком (+), так и со знаком (-) бесконечно много. Если это не выполняется, например, ряд содержит конечное число отрицательных членов, то их можно отбросить и рассматривать ряд, составленный только из положительных членов, и наоборот.
Определение 2
Если числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится и его сумма равна S,а частичная сумма равна $S_n$ , то $r_{n} =S-S_{n} $ называется остатком ряда, причём $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } r_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } (S-S_{n})=S-S=0$, т.е. остаток сходящегося ряда стремится к 0.
Определение 3
Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $.
Определение 4
Если числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится, а ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.
Теорема 1 (достаточный признак сходимости знакопеременных рядов)
Знакопеременный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится, причём абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $.
Замечание
Теорема 1 даёт только достаточное условие сходимости знакопеременных рядов . Обратная теорема неверна, т.е. если знакопеременный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится, то не обязательно, что сходится ряд, составленный из модулей $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $ (он может быть как сходящимся, так и расходящимся). Например, ряд $1-\frac{1}{2} +\frac{1}{3} -\frac{1}{4} +...=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1} }{n} $ сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{n} $ (гармонический ряд) расходится.
Свойство 1
Если ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ абсолютно сходится, то он абсолютно сходится при любой перестановке его членов, при этом сумма ряда не зависит от порядка расположения членов. Если $S"$ - сумма всех его положительных членов, а $S""$ - сумма всех абсолютных величин отрицательных членов, то сумма ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ равна $S=S"-S""$.
Свойство 2
Если ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ абсолютно сходится и $C={\rm const}$, то ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }C\cdot u_{n} $ также абсолютно сходится.
Свойство 3
Если ряды $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ и $\sum \limits _{n=1}^{\infty }v_{n} $ абсолютно сходятся, то ряды $\sum \limits _{n=1}^{\infty }(u_{n} \pm v_{n}) $ также абсолютно сходятся.
Свойство 4 (теорема Римана)
Если ряд условно сходится, то какое бы мы не взяли число А, можно переставить члены данного ряда так, чтобы его сумма оказалась в точности равной А; более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы после этого он расходился.
Пример 1
Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд
\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} .\]
Решение. Данный ряд является знакопеременным, общий член которого обозначим: $\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.
Пример 2
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} $.
- Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим $\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} =u_{n} $ и составим ряд из абсолютных величин $a_{n} =\left|u_{n} \right|=\frac{\sqrt{n} }{n+1} $. Получаем ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{\sqrt{n} }{n+1} $ с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов. Для сравнения с рядом $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{\sqrt{n} }{n+1} $ рассмотрим ряд, который имеет вид $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, b_{n} =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{\sqrt{n} } \, $. Этот ряд является рядом Дирихле с показателем $p=\frac{1}{2}
- Далее исследуем исходный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} $ на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница. Условие 1): $u_{n} =(-1)^{n} \cdot a_{n} $, где $a_{n} =\frac{\sqrt{n} }{n+1} >0$, т.е. этот ряд знакочередующийся. Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию $f(x)=\frac{\sqrt{x} }{x+1} $, определенную при $x\in
:
f 1 (x ), f 2 (x ), f 3 (x ) … f n (x ), ….
Приняв эти функции в качестве членов ряда, образуем ряд:
f 1 (x ) + f 2 (x ) + f 3 (x ) + … + f n (x ) + …, (1)
который называется функциональным рядом .
Например: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …
В частном случае функциональным рядом является ряд:
который называется степенным рядом , где
постоянные числа, называемыекоэффициентами
членов степенного ряда
.Степенной ряд может быть записан и в такой форме:
где
некоторое постоянное число.При определенном фиксированном или числовом значении x получим числовой ряд, который может быть сходящимся или расходящимся.
Определение : Совокупность всех значений х (или всех точек х числовой прямой), при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Пример 1.
Найти область сходимости степенного ряда:
Решение (1 способ) .
Применим признак Даламбера.
Так как признак Даламбера применим к рядам только с положительными членами , то выражение, стоящее под знаком предела, взято по абсолютной величине.
По признаку Даламбера ряд сходится, если
и
.Т.е. ряд сходится, если
< 1, откуда
или-3<
x
<3.
Получим интервал сходимости данного степенного ряда: (-3;3).
В крайних точках интервала x =
,
будем иметь
.В этом случае теорема Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Исследуем ряд на сходимость в граничных точках:
x = -3 ,
Получим знакочередующийся ряд. Исследуем его на сходимость по признаку Лейбница:
1.
члены ряда, взятые по абсолютной
величине, монотонно убывают.2.
Следовательно, ряд в точкеx
= -3 сходится.x = 3,
Получим положительный ряд. Применим интегральный признак Коши сходимости ряда.
члены ряда монотонно
убывают.Функция
на промежутке
:
.Несобственный интеграл расходится, значит, ряд в точке x=3 расходится.
Ответ:
Второй способ определения области сходимости степенного ряда основан на применении формулы радиуса сходимости степенного ряда:
,
где
и
коэффициенты
и
членов ряда.Для данного ряда имеем:
. R
=3.
ряд сходится
Интервал сходимости ряда: -3< x <3.
Далее, как и в предыдущем случае, надо исследовать в граничных точках: x =
.
Ответ: область сходимости ряда [-3;3).
Отметим, что второй способ определения области сходимости степенного ряда с использованием формулы радиуса сходимости ряда
более рационален.Пример 2.
Найти область сходимости степенного ряда:
.Найдем R – радиус сходимости ряда.
,
,
.
.
.Интервал сходимости ряда (-
;
).Исследуем ряд на сходимость в точках x = -
иx
=
.x = -
,Получим знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница:
1.
члены ряда, взятые по абсолютной величине,
монотонно убывают.2.
,
следовательно, ряд в точкеx
= -
сходится.x =
,
.Получили ряд с положительными членами. Применим интегральный признак Коши.
Здесь
:
,
члены ряда
монотонно убывают.Функция
на промежутке
:
.Несобственный интеграл расходится, ряд расходится.
Ответ: [-
;
)
– область сходимости ряда.Числовой ряд
называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.
Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.
где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Например,
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).
Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда
Теорема (Признак Лейбница).
Знакочередующийся ряд сходится, если:
Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;
Общий член ряда стремится к нулю:.
При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам
Замечания.
Исследование знакочередующегося ряда вида
(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на к исследованию ряда.
Ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).
Соотношение позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой.
Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е.. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.
Пример. Вычислить приблизительно сумму ряда.
Решение: данный ряд Лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать:
Взяв пять членов, т.е. заменивна
Сделаем ошибку, меньшую,
чем. Итак,.
Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.
Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд
Если сходится ряд
составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.
Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.
Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.
Упражнения
Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:
Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.
Ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим рядом, который, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.
Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:
Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.
Используя признак Лейбница, получим
т.е. ряд сходится.
Это геометрический ряд вида, где, который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.
Используя признак Лейбница, имеем
т.е. ряд сходится.
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как. Следовательно, данный ряд сходится условно.
знакопеременный ряд сходимость слагаемое
